Aplicaciones de la integral

Área entre la región de dos curvas

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones $y=f(x)$ y $y=g(x)$ , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica $y=g(x)$ esta debajo de la grafica $y=f(x)$ , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion $y=g(x)$ al área de la función $y=f(x)$ , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos.

Definición

Si $y=f(x)$ y $y=g(x)$ son continuas en [a,b] y $y=g(x)$ ≤ $y=f(x)$ para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$ es

$A=\int_{a}^{b}\left[f(x)-\right g(x)]\;dx$

Área de una región entre dos curvas que se intersecan

Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de $y=g(x)$ ≤ $y=f(x)$ o $y=f(x)$ ≤ $y=g(x)$ y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].

$A=\int_{a}^{b}\left[f(x)-\right g(x)]\;dx + \int_{b}^{c}\left[g(x)-\right f(x)]\;dx$

Si la grafica de una función de y es una frontera de una region, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan

$A=\int_{x1}^{x2}\left[(curva de arriba)-\right (curva de abajo)]\;dx Rectangulos verticales$
$A=\int_{y1}^{y2}\left[(curva derecha)-\right (curva izquierda)]\;dx Rectangulos horizontales$

Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.

Ejemplo

Encontar el área de la región:

$y=x+1, y=9-x^2, x=-1, x=2$

Solución

Como se observa en la figura nuestra función de arriba es $y=9-x^2$ y la de abajo es $y=x+1$ por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde $f(x)=9-x^2, g(x)=x+1$ donde $a=-1, b=1$

$A=\int_{-1}^{2}\left [(9-x^2)-\right(x+1)]\;dx$

$A=\int_{-1}^{2}\left(8-x-x^2\right)\;dx$

$A=\left [8x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$

$A=\left(16-2-\frac{8}{3}\right)-\left(-8-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)$

$A=22-3+\frac{1}{2}$

$A=\frac{39}{2}$

Ejemplo

Encontrar el área de la región:

$y=e^x, y=x, x=0, x=1$

Solución

Como se muestra en la figura la función de arriba es $y=e^x$ y en la parte de abajo es $y=x$ por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde $f(x)=e^x, g(x)=x$ donde $a=0, b=1$
$A=\int_{0}^{1}\left (e^x-\right x)\;dx$
$A=\left e^x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=e-1-\frac{1}{2}$

$A=e-\frac{3}{2}$

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