Ecuación en diferencias de segundo orden no homogénea

Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por la expresión (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = F[n] , debemos sumar una solución particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = 0.
 

Para hallar la solución particular necesaria, empleamos el método de los coeficientes indeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por aplicación repetida del operador E.
 

Como en el caso de las ecuaciones diferenciales, si cualquier término de la expresión elegida inicialmente para Y_p   es repetición de algún término de la solución complementaria ( solución de la ecuación en diferencias homogénea), éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación.
 

El proceso a seguir es análogo al empleado para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior.
 

El procedimiento a seguir se resume en la siguiente tabla.

Ecuación en diferencias (a₂E² + a₁E + a₀) y(n) = F[n]
 
 

Cuando F[n]  está formada por la suma de varios términos, la selección apropiada para  Y_p es la suma de las expresiones Y_p correspondientes a cada uno de los términos por separado.
  

Ejemplo.

 

Hállese una solución completa de la ecuación en diferencias:
(E² - 5E + 6) = n+2ⁿ.

 

Solución.

En este caso la ecuación característica es   y a partir  de sus raíces ,  se halla la solución complementaria que es  y_c = c₁2ⁿ  + c₂ 3ⁿ

Para hallar una solución particular, se ensayaría normalmente con la expresión  
y_p = An + B + C2ⁿ   según la tabla anterior.

 

Como ocurre que el término  C2ⁿ  es repetición de un término de la solución complementaria, debemos multiplicar C2ⁿ   por n antes de incorporarlo a la expresión que hemos elegido para  y_p.

 

Por lo tanto,  y_p  tiene la forma siguiente:  y_p = An + B + Cn2ⁿ   . Enseguida sustituimos la anterior expresión en la ecuación en diferencias obteniéndose la siguiente expresión:
 

2An + (-3A + 2B) - 2C2ⁿ   = n + 2ⁿ