Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

Si

se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo

Si

se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo


1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de la ecuación


Donde En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.
Ejemplos:
1) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir


Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones ; son linealmente independientes

2) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene


Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad pueden ser entonces las funciones ; son linealmente dependientes
Si son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
, entonces, la solución general es

Donde son las constantes
Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma


Entonces

Remplazando en se tiene

Factorando

Como nunca se anula, es una solución si y solo si

Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial

Solución:
Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye por , por , e por 1 para obtener una ecuación de la forma
Por lo tanto la ecuación característica de es
Resolviendo la ecuación se tiene

Entonces

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es