Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

Una ecuación diferencial de primer orden

           

se dice que es una ecuación de variables separables o con variables separadas si tiene la forma

           

Ejemplo 1

Las ecuaciones diferenciales

son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En el primer caso con y ; mientras que en el segundo con y

Metodología para resolver ecuaciones diferenciales separables

1. La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

Ejemplo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y–1)}$

Donde:

$f(x,y)=\frac{3x^2+4x+2}{2(y–1)}$

2. SEPARAMOS LAS VARIABLES

$Mdx=Ndy$

Donde:

$M=f\left(x\right)$

              y $N=f\left(y\right)$

3. Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y ténicas conocidas del cálculo integral

Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1, Problema del Valor Inicial (PVI)

$\frac{dy}{dx}=(1+y^2)\tan \left(x\right)$

                                                                                 $y\left(0\right)=1$
Pasos:

1. Forma estándar

$\frac{dy}{dx}=(1+y^2)\tan \left(x\right)$

2. Separando variables

$\frac{dy}{1+y^2}=\tan \left(x\right)dx$

3. Integrando

$\int \frac{dy}{1+y^2}=\int \tan \left(x\right)dx+C$

Para integrar utilizamos las formulas.

Lado izquierdo:

$\int \frac{dT}{1+T^2}=arcTan\left(T\right)+C$

Lado derecho:

$\tan \left(x\right)=\frac{sen\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

De modo que:

$\int \tan \left(x\right)dx=\int \frac{sen\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx$

De donde:

$u=\cos x$

$du=-\sin \left(x\right)dx$

Por tanto:

$\int \frac{sen\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx=–\int \frac{-sen\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx$

$\Rightarrow –\int \frac{du}{u}=–Ln|u|$

Y regresando a las variables originales:

$\int \tan \left(x\right)dx=–Ln|\cos \left(x\right)|$

De modo que el resultado buscado es:

$\int \frac{dy}{1+y^2}=\int \tan \left(x\right)dx+C$

$\Rightarrow arcTan\left(y\right)=–Ln|\cos x|+C$

Por ultimo, despejando $y$

$y\left(x\right)=Tan(-Ln|\cos (x)|+C)$

4. Resolviendo el PVI:

Sustituimos los valores iniciales ($y\left(0\right)=1$) en el resultado obtenido:

$y\left(x\right)=Tan(-Ln|\cos (x)|+C)$

$y\left(0\right)=Tan(-Ln|\cos 0|+C)=1$

$\Rightarrow 1=Tan(-Ln|1|+C)$

$\Rightarrow 1=Tan(0+C)$

$\Rightarrow Tan(0+C)$

$\Rightarrow Tan\left(C\right)=1$

$C=arcTan\left(1\right)$

$C=\frac{\pi }{4}$

De modo que la solución particular buscada es:

$y\left(x\right)=Tan\left(–Ln|\cos \left(x\right)|+\frac{\pi }{4}\right)$