Ecuaciones diferenciales homogéneas

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Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

    [Funciones homogéneas]
  Una función $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ se dice homogénea de grado $n$ si
\begin{displaymath} f(tx,ty) = t^n f(x,y) \end{displaymath}

para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$.

Ejemplo

  1. La función $f(x,y)= \frac{1}{\sqrt{x+y}}$ es homogéénea de grado $\frac{1}{2}$.
  2. Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$, $f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $, $f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.
  3. Las funciones $f(x,y)= x^2 + y^2$, $f(x,y)=xy$, $f(x,y)=x^2-2xy+y^2$ son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

    [Ecuación diferencial homogénea]
   Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$, es homogénea si la función $f(x,y)$ es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneos del mismo grado.

   Teorema
  Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
\begin{displaymath} y^{\prime} = f(x,y) \end{displaymath}
es homogénea, entonces el cambio de variable $y=ux$ la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:
 
Al hacer la sustitución obtenemos

\begin{displaymath} x u^{\prime} + u = f(x, x u) \end{displaymath}

Pero como $f(x,y)$ es una función homogénea de grado cero tenemos que

\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} + u = x^0 f(1,u) \end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} = f(1,u) - u \Rightarrow \frac{du}{f(1,u) - u} = \frac{dx}{x} \end{displaymath}

la cual es separable, como se quería.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

\begin{displaymath} \left(x^2 + y^2 \right) dx + xy dy = 0 \end{displaymath}

La ecuación diferencial es homogénea pues $M(x,y) = x^2 + y^2$ y $N(x,y) = xy$ son homogéneas de grado dos

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} M(tx,ty) & = & \left(t x \right)^2 + \l... ...\right) = t^2 \left( xy \right) = t^2 N(x,y) \\ \end{array} \end{displaymath}

Haciendo la sustitución

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left(x^2 + \left(u x \right)^2 \right)... ... dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du \right) & = & 0 \\ \end{array} \end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath} \frac{1}{x} dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du =0 \end{displaymath}

Integrando y volviendo a las variables $x$ y $y$ obtenemos

\begin{displaymath} Ln \mid x \mid + \frac{1}{4} Ln \mid 1 + 2 \left(\frac{y}{x} \right)^2 \mid = c \Rightarrow x^4 + 2 x^2 y^2 = c \end{displaymath}

Note que $x=0$ es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}

conviene más rescribirla en la forma

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \end{displaymath}

y aplicar quí el cambio de variable $y=ux$.

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