Ecuaciones lineales homogéneas de orden arbitrario con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:


Y tiene como solución general la función por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:


Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir entonces la solución general tiene la forma


2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir entonces la solución general tiene la forma


3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,
es una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugada también es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como solución general


Ejemplos ilustrativos
1) Resolver
Solución:
La ecuación auxiliar es:
Factorando se tiene


Las raíces son


Entonces la solución general es